数学的大厦是一点点从零搭建起到今天，在发展历程中存在很多当今人们早已习以为常的概念在不断被发现。如数字 0 在被定义之前，所有正数和负数之间的间隔是什么？

本文讲述数学上另一个概念的推导：从毕达哥拉斯定理到无理数存在的证明。

毕达哥拉斯定理

平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。

wikipedia: Pythagorean theorem

国际通用叫法是毕达哥拉斯定理，而在国内被称为勾股定理。从数学的严谨性来说，商高发现 勾三股四弦五 这个现象不能证明具有普遍意义的 定理，下面从三方面说明数学的推理世界和现实测量世界的区别来说明为何国际上把毕达哥拉斯提出的定义为定理。

测量和逻辑推理的区别

古代文明的人们确实观察到勾股数的现象，他们画一个直角三角形，勾三尺长、股四尺长时，弦长恰好就是五尺长，于是就有了勾三股四弦五的说法。

但是这里面存在一个大问题，我们说长度是三尺并非数学上准确的长度，用尺子量出来的 3，可能是 3.01 或是 2.99。这样一来勾三股四弦五就是一个比较模糊的说法了。

如果勾 3.5 股 4.5 那么弦大约是 5.7，这个“大约”的误差只有万分之一点六左右（弦长大约是 5.700887），古代任何测量都发现不了。这时如果你说勾 3.5 股 4.5 弦 5.7，从物理上来说基本正确，但是在数学上就错了。这是第一个差别：测量会出错但推理不会。

用事实证实和用逻辑证明的区别

在自然科学中，一个假说通过实验证实，就变成了定律。

事实上，今天几乎所有的自然科学的定律和理论，不仅存在一个被推翻的可能性，而且有很多的例外。比如，证实引力波的实验，也只能保证 99.9999% 的可能性结论是对的。

在数学上用实验来验证一个假说（猜想）是不被允许的。数学的结论只能从逻辑出发，通过归纳或者演绎得出来。它必须完全正确，因为但凡有一个反例就要被完全否定掉。这里面最著名的例子就是哥德巴赫猜想。

所以，数学世界和测量世界第二个区别就是：数学理论必须要证明保证没有例外。

科学结论相对性和数学结论绝对性的区别

为什么数学要那么严格，它的定理为什么不能有任何例外，更不能特殊情况特殊处理呢？因为数学上的每一个定理都是一块基石，后人需要在此基础上往前走，试图建立一块新的基石，然后数学的大厦就一点点建成了。在这个过程中不能有丝毫的缺陷。

勾股定理的确立，其实教会了人们在平面计算距离的方法，在此基础之上，三角学才得以建立，笛卡尔的解析几何才得以确立，再往上才能建立起微积分等数学工具。

数学上的每一个定理，必须也只能通过逻辑推演来证明，用多少实例来验证都没有用。正是因为这个原因，西方才将这个定理命名为毕达哥拉斯定理以彰显他的贡献。

有了一个个的定理，数学就得以建立起来，而且这个建立在逻辑推理基础上的大厦很坚固。在数学上，当一个新的定理被证明后，就会产生很多自然的推论，每一个推论可能都是一个重大的发现，甚至能带来人类认识的升级。毕达哥拉斯定理的一个直接推论就是无理数的存在。

无理数

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现

在古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年—约公元前500年）所处的时代，人们认识到的数学上的数字都是有理数，它们都有我们平时所说的分数，具有 A / B 这样的形式，比如 2 / 3，其中 A 和 B 都是整数，整数本身可以被看成分母等于 1 的分数，比如 5 = 5 / 1。

毕达哥拉斯有一个很怪的想法，他坚信世界的本源是数字，而数字必须是完美的。整数很完美，而且分数的分子分母也都是整数，不会是零碎的也很完美，整数和分数所构成的有理数让毕达哥拉斯一直坚信自己的想法。 但是，一旦毕达哥拉斯定理被他证明以后，数学的定理具有永真的特点，它一旦被证明就找不到反例。当人们在用毕达哥拉斯定理时，就发现了问题：假设某一个直角三角形的两条直角边长都是 1，那么斜边该是多少呢？

两条直角边都是1，它们各自的平方也是 1，加起来是 2，因此斜边的平方是 2，这个斜边就是一个自己乘以自己等于 2 的数字，它应该在 1 和 2 之间。接下来请问，这个自己乘以自己等于 2 的数字是否是“完美”的有理数？

根据毕达哥拉斯对所有的数字都是有理数的认识假定存在一个数字是 R，它能够写成 R = A / B 的形式，其中 A、B 都是互素的整数，那么现在假设这个数字 R 的平方恰好等于 2。满足以下三个条件：

• A、B 都是整数
• A、B 互素，也就是不能再约分了
• A / B 的平方等于 2

这三个条件能否同时满足呢？可以尝试以反证法证明一下。

具体到上面这个问题，我们从上面第三个条件出发，就得知分子 A 的平方除以分母 B 的平方等于 2：

A^2 / B^2 = 2

我们把B的平方移到等式的右边2那边，就是：

A^2 = 2 * B^2

等式的右边是 2 乘以 B 的平方，A的平方结果肯定是偶数，所以 A 一定是偶数。此时新定义一个整数 C，存在以下等式：

A = 2C

用上面这个等式代入替换最初的等式：

4 * C^2 = 2 * B^2

等式两边约除 2：

2 * C^2 = B^2

此时等式成立情况下可以判定 B 也一定是偶数。 此时 A 和 B 都是偶数和上面的第二个条件，也就是“A、B互素不能再约分”相矛盾。

存在一种数字，我们过去没有认识到，它们无法写成有理数的形式，即 A / B，它们是无限的不循环小数，在这样的数中有一个自己乘以自己时等于 2。我们今天把这个数字称为 √2。这一类的数字其实很多，它们被统称为无理数。

据说毕达哥拉斯的学生希帕索斯最初发现了上述矛盾，于是就去和他的老师讲了。而毕达哥拉斯是个把数学看成宗教的人，出现无限的不循环小数在毕达哥拉斯看来是数学的漏洞，但他又无法把这件事解释圆满，这就是数学史上的第一次危机。毕达哥拉斯决定把这位学生扔到海里杀死，好把这件事隐瞒下来。

像 √2 这样的“无理数”是客观存在的，毕达哥拉斯是隐瞒不住的，这件事成为了这位确立了数学在人类知识体系中地位的大学问家的一个污点。

无理数的危机也带来了数学思想一次大的飞跃，它告诉人们人类在对数字的认识上还具有局限性，需要有新的思想和理论来解释，认识本身不能有禁区，那些事先为科学设定的条条框框最终都不得不被抛弃掉。